Question

【题目】已知△ABC，分别以BC，AB，AC为边作等边三角形BCE，ACF，ABD

(1)若存在四边形ADEF，判断它的形状，并说明理由．

(2)存在四边形ADEF的条件下，请你给△ABC添个条件，使得四边形ADEF成为矩形，并说明理由．

(3)当△ABC满足什么条件时四边形ADEF不存在．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形；（3）这样的平行四边形ADEF不总是存在.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质得出AC＝AF，AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABD＝60°，求出∠DBE＝∠ABC，根据SAS推出△DBE≌△ABC，根据全等得出DE＝AC，求出DE＝AF，同理AD＝EF，根据平行四边形的判定推出即可；

（2）当AB＝AC时，四边形ADEF是菱形，根据菱形的判定推出即可；当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形，求出∠DAF＝90°，根据矩形的判定推出即可；

（3）这样的平行四边形ADEF不总是存在，当∠BAC＝60°时，此时四边形ADEF就不存在．

（1）证明：∵△ABD、△BCE和△ACF是等边三角形，

∴AC＝AF，AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABD＝60°，

∴∠DBE＝∠ABC＝60°﹣∠EBA，

在△DBE和△ABC中

，

∴△DBE≌△ABC，

∴DE＝AC，

∵AC＝AF，

∴DE＝AF，

同理AD＝EF，

∴四边形ADEF是平行四边形；

（2）解：当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形，

理由是：∵△ABD和△ACF是等边三角形，

∴∠DAB＝∠FAC＝60°，

∵∠BAC＝150°，

∴∠DAF＝90°，

∵四边形ADEF是平行四边形，

∴四边形ADEF是矩形；

（3）解：这样的平行四边形ADEF不总是存在，

理由是：当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，

此时点D、A、F在同一条直线上，此时四边形ADEF就不存在．