Question

如图，已知等腰△ABC，AD是底边BC上的高，AD：DC=1：3，将△ADC绕着点D旋转，得△DEF，点A、C分别与点E、F对应，且EF与直线AB重合，设AC与DF相交于点O，则S_△AOF：S_△DOC=

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：

分析：如图，作DG⊥AB于G，设AD=x，则BD=3x，由勾股定理就可以求出AB=

10

x，由三角形的面积公式求出DG的值，由三角函数值求出AG，就可以表示出AE，从而求出AF，再由△AFO∽△DCO就可以求出结论．

解答：解：作DG⊥AB于G，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD，∠B=∠C．
设AD=x，则BD=3x，由勾股定理，得
AB=

10

x，
∴AC=

10

x．
∴

AD•BD

2

=

AB•GD

2

，
∴

x•3x

2

=

10 x•GD

2

，
∴GD=

3 10 x

10

．
∵

AD

DC

=

1

3

=tan∠C．
∴tan∠B=

1

3

．
∵∠ADG+∠GAD=90°，∠B+∠GAD=90°，
∴∠ADG=∠B．
∴tan∠ADG=

AG

GD

=

1

3

，
∴

AG

3 10 x 10

=

1

3

，
∴AG=

10 x

10

．
∵△FDE是由△CDA旋转得来的，
∴△FDE≌△CDA，
∴DE=DA．∠F=∠C．
∵DG⊥AB，
∴AG=EG．
∴AE=2AG，
∴AE=

10 x

5

．
∴AF=

10

x-

10 x

5

=

4 10 x

5

．
∵∠AOF=∠DOC，∠F=∠C，
∴△AFO∽△DCO，
∴S_△AOF：S_△DOC=(

AF

DC

)2=（

4 10 x 5

3x

）²．
=

32

45

．
故答案为：

32

45

．

点评：本题考查了等腰三角形的性质的运用，勾股定理的运用，旋转的性质的运用，三角函数值的运用，相似三角形的判定与性质的运用，三角形面积公式的运用，解答时证明三角形相似是关键．