Question

4．如图所示，⊙O的两条弦AB，CD互相垂直且相交于点P，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$．求证：四边形OEPF是正方形．

Answer 1

分析 连接OA、OD．根据矩形的判定定理可以推知四边形OEPF是矩形；根据已知条件$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$可以推知$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，由圆心角、弧、弦的关系可以证得AB=CD，由垂径定理推知AE=DF，再由勾股定理可得OE=OF；最后根据正方形的判定定理可知矩形OEPF是正方形．

解答 证明：连接OA、OD．
∵AB⊥CD，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴四边形OEPF是矩形；                                       
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，
∴$\widehat{AC}$+$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$+$\widehat{BC}$，即$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，
∴AB=CD，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，DF=$\frac{1}{2}$CD，
∴AE=DF；             
∵OA=OD，OE²=OA²-AE²，OF²=OD²-DF²，
∴OE=OF，
∴矩形OEPF是正方形．

点评 本题考查了正方形的判定，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，勾股定理．证明出四边形OEPF是矩形以及OE=OF是解题的关键．