Question

17．如图，四边形ABCD为矩形，O为AC中点，过点O作AC的垂线分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形．
（2）若AC=8，EF=6，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）由条件可先证四边形AFCE为平行四边形，再结合线段垂直平分线的性质可证得结论；
（2）由菱形的性质可求得AE=CF=5，设BF=x，在Rt△ABF和Rt△ABC中，分别利用勾股定理可得到关于x的方程，可求得BF的长．

解答 （1）证明：
∵O为AC中点，EF⊥AC，
∴EF为AC的垂直平分线，
∴EA=EC，FA=FC，
∴∠EAC=∠ECA，∠FAC=∠FCA．
∵AE∥CF，
∴∠EAC=∠FCA，
∴∠FAC=∠ECA，
∴AF∥CE，
∴四边形AFCE平行四边形．
又∵EA=EC，
∴平行四边形AFCE是菱形．
（2）∵四边形AFCE是菱形，AC=8，EF=6，
∴OE=3，OA=4，
∴AE=CF=5，
设BF=x，
在Rt△ABF中，AB²=AF²-BF²，在Rt△ABC中，AB²=AC²-BC²．
∴5²-x²=8²-（x+5）²，
解得$x=\frac{7}{5}$，
∴$BF=\frac{7}{5}$．

点评 本题主要考查菱形的判定和性质，掌握菱形的判定方法和菱形的性质是解题的关键，在求BF的长时，注意方程思想的应用．