Question

19．如图，已知AD∥BC，P为CD上一点，且AP，BP分别平分∠BAD和∠ABC．
（1）判断△APB是什么三角形，证明你的结论；
（2）比较DP与PC的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过平行线性质及角平分线性质，可以得到∠APB=90°；
（2）利用中点延长AP与BC交于点E，构造出一对全等三角形△ADP与△ECP，即可以证出DP=PC．

解答 解：（1）△APB是直角三角形
∵AP，BP分别平分∠BAD和∠ABC，
∴∠DAP=∠BAP=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠ABP=∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∴∠BAP+∠ABP=$\frac{1}{2}$（∠BAD+∠ABC）=90°，
∴∠APB=90°，
∴△APB是直角三角形；
（2）DP=PC
延长AP交BC的延长线于点E，如图：
．
∵AD∥BC，
∴∠DAP=∠E，
∵∠DAP=∠BAP，
∴∠BAP=∠E，
∴AB=EB，
∵∠APB=90°，
∴AP=PE，
在△ADP与△ECP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAP=∠E}\\{AP=EP}\\{∠APD=∠EPC}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△ECP，
∴DP=CP．

点评 本题考查了角平分线性质、平行线性质、全等三角形性质等，解题的关键是利用中点作延长线构建全等三角形．