Question

19．如图，二次函数y=x²+bx+c的图象交x轴于A（-1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，过点Q作QN⊥x轴于N，交抛物线于点M，连结MC，MB，当t为何值时，△MCB的面积最大，并求出此时点M的坐标和△MCB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知a=1，依据二次函数的交点式可知抛物线的解析式为y=（x+1）（x-3），然后整理即可；
（2）分为∠PQB=90°和∠BPQ=90°两种情况求解．当∠PQB=90°时，PB=$\sqrt{2}$QB=2t，然后依据AB=AP+PB列方程求解即可；当∠BPQ=90°时，PB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$QB=t，然后依据AB=AP+PB列方程求解即可；
（3）先求得直线BC的解析式，然后设M（a，a²-2a-3），则Q（a，a-3）．则QM=-a²+3a．由S_△BCM=$\frac{1}{2}$OB•QM，得到△BCN的面积与a的函数关系式，然后依据配方法可求得△BCN的面积的最大值以及点P的坐标．

解答 解：（1）∵二次函数y=x²+bx+c的图象交x轴于A（-1，0）、B（3，0）两点，
∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x-3），整理得：y=x²-2x-3．
（2）∵当x=0时，y=-3，
∴C（0，-3）．
∴OB=OC．
∴∠PBQ=45°．
如图1所示：当∠PQB=90°时．则PB=$\sqrt{2}$BQ．

∵AP=t，BQ=$\sqrt{2}$t，AB=4，
∴AP+PB=t+2t=4．
∴t=$\frac{4}{3}$．
如图2所示：当∠QPB=90°时．

∵∠PBQ=45°，∠BPQ=90°，
∴PB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{2}$t=t．
∵AP=t，AB=4，
∴t+t=4．
解得：t=2．
综上所述，当t=2或t=$\frac{4}{3}$时，△BPQ为直角三角形．
（3）设直线BC的解析式为y=kx+b．
∵将C（0，-3）、B（3，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得：k=1，b=-3，
∴直线BC的解析式为y=x-3．
设M（a，a²-2a-3），则Q（a，a-3）．则QM=a-3-（a²-2a-3）=-a²+3a．
∵S_△BCM=$\frac{1}{2}$OB•QM=$\frac{1}{2}$×3•（-a²+3a）=-$\frac{3}{2}$（a²-3a）=-$\frac{3}{2}$（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴当a=$\frac{3}{2}$时，△BCM的面积的最大值为$\frac{27}{8}$．
∴点P的坐标（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质和判定、特殊锐角三角函数值、配方法求二次函数的最值，列出△BCM的面积与a的函数关系式是解题的关键．