Question

如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10。
（1）求梯形ABCD的面积S；
（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度、沿B→A→D→C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度、沿C→D→A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：
①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；
③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）过D作DH∥AB交BC于H点 ∵AD∥BH，DH∥AB， ∴四边形ABHD是平行四边形    ∴DH=AB=8，BH=AD=2   ∴CH=8-2=6   ∴CD=10    ∴DH2+CH2=CD2  ∴∠DHC= 90° ∴∠B=∠DHC= 90° ∴梯形ABCD是直角梯形 = 4 （2）①     ②第一种情况：0<t≤8    a、 若△PAD∽△QEC    则∠ADP=∠C    b、 若△PAD∽△CEQ   则∠APD=∠C   第二种情况：8<t≤10 P、A、D三点不能组成三角形 第三种情况：10<t≤12 △ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似。 ③