题目内容
如图，已知等腰Rt△AOB，其中∠AOB=90°，OA=OB=2，E、F为斜边AB上的两个动点（E比F更靠近A），满足∠EOF=45°。
（1）求证：△AOF∽△BEO；
（2）求AF×BE的值；
（3）作EM⊥OA于M，FN⊥OB于N，求OM×ON的值；
（4）求线段EF长的最小值。（提示：必要时可以参考以下公式：当x＞0，y＞0时， x+y=
或x+
）。
（1）求证：△AOF∽△BEO；
（2）求AF×BE的值；
（3）作EM⊥OA于M，FN⊥OB于N，求OM×ON的值；
（4）求线段EF长的最小值。（提示：必要时可以参考以下公式：当x＞0，y＞0时， x+y=
或x+）。
解：（1）∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠AFO=∠B+∠BOF=45°+∠BOF，
又∵∠BOE=∠EOF+∠BOF=45°+∠BOF，
∴∠AFO=∠BOE，
∴△AOF∽△BEO；
（2）∵△BOE∽△AOF，
∴
，
∴
；
（3）作斜边AB上的高OD，并记OM=a，ON=b，
则易得ME=2-a，OD=
，
由已知条件易得：
△MOE∽△DOF
，
即OM·ON=2；
（4）EF=AB-AE-BF=
=
，
所以，当
， a=b=
时，EF取得最小值
。
∴∠A=∠B=45°，
∵∠AFO=∠B+∠BOF=45°+∠BOF，
又∵∠BOE=∠EOF+∠BOF=45°+∠BOF，
∴∠AFO=∠BOE，
∴△AOF∽△BEO；
（2）∵△BOE∽△AOF，
∴
，∴
；（3）作斜边AB上的高OD，并记OM=a，ON=b，
则易得ME=2-a，OD=
，由已知条件易得：
△MOE∽△DOF
，即OM·ON=2；
（4）EF=AB-AE-BF=
=
，所以，当
， a=b=时，EF取得最小值。
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