Question

（2012•深圳二模）如图，已知等腰Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=8cm，点P是线段AB上的点，点Q是线段BC延长线上的点，且AP=CQ，PQ与直线AC相交于点D．作PE⊥AC于点E，则线段DE的长度（　　）

• A．为4cm
• B．为5cm
• C．为4

  2

  cm
• D．不能确定

Answer 1

分析：过Q作QF⊥AC于F，证△AEP≌△CFQ，推出PE=QF，CF=AE，证△PED∽△QFD，求出DE=DF，推出AC=2DE，根据勾股定理即可求出DE．

解答：解：过Q作QF⊥AC于F，
∵PE⊥AC，
∴∠F=∠AEP=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠A=∠ACB=∠QCF=45°，
∵在△AEP和△CFQ中

∠A=∠FCQ AP=CQ ∠AEP=∠F

，
∴△AEP≌△CFQ，
∴PE=QF，CF=AE，
∵PE⊥AC，QF⊥AC，
∴△PED∽△QFD，
∴

DF

DE

=

QF

PE

，
∴DE=DF，
∵CF=AE，
∴AC=AE+DE+DC=AE+DE+DF-CF=2DE，
在△ABC中，由勾股定理得：8²+8²=（2DE）²，
解得：DE=4

2

（cm）．
故选C．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形，相似三角形的性质和判定的应用，关键是求出AC=2DE，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力．