Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50，点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E，点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，。
（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；
（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长。

Answer 1

解：（1） 由AE=40，BC=30，AB=50，CP=24，
又sin∠EMP=CM=26；
（2） 在Rt△AEP与Rt△ABC中，
∵∠EAP=∠BAC，
∴ Rt△AEP∽Rt△ABC，
∴，
即，
∴EP=x，
又sin∠EMP=，
∴MP=x=PN，
BN=AB-AP-PN=50-x-x=50-x （0＜x＜32）；
（3）①当E在线段AC上时，由（2）知，，即，x=EN，
又AM=AP-MP=x-x=x，
由题设△AME∽△ENB，
∴，，
解得x=22=AP，
②当E在线段BC上时，
由题设△AME∽△ENB，
∴∠AEM=∠EBN，
由外角定理，∠AEC=∠EAB+∠EBN=∠EAB+∠AEM=∠EMP，
∴Rt△ACE∽Rt△EPM，，
即，…①，
设AP=z，
∴PB=50-z，
由Rt△BEP∽Rt△BAC，，
即，（50-z），
∴CE=BC-BE=30-（50-z）…②。
由①，②，解=30-（50-z），得z=42=AP。