Question

11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=$\frac{1}{2}$x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是x=-$\frac{3}{2}$且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．
（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①先求的直线y=$\frac{1}{2}$x+2与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；②设抛物线的解析式为y=y=a（x+4）（x-1），然后将点C的坐标代入即可求得a的值；
（2）设点P、Q的横坐标为m，分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段PQ=$-\frac{1}{2}$m²-2m，然后利用三角形的面积公式可求得S_△PAC=$\frac{1}{2}$×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标；
（3）首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下几种情况分类讨论即可：①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当M（-3，2）时，△MAN∽△ABC； ④当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系．

解答 解：（1）①y=$\frac{1}{2}x+2$当x=0时，y=2，当y=0时，x=-4，
∴C（0，2），A（-4，0），
由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=-$\frac{3}{2}$对称，
∴点B的坐标为1，0）．
②∵抛物线y=ax²+bx+c过A（-4，0），B（1，0），
∴可设抛物线解析式为y=a（x+4）（x-1），
又∵抛物线过点C（0，2），
∴2=-4a
∴a=$-\frac{1}{2}$
∴y=$-\frac{1}{2}$x²$-\frac{3}{2}$x+2．
（2）设P（m，$-\frac{1}{2}$m²$-\frac{3}{2}$m+2）．
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，

∴Q（m，$\frac{1}{2}$m+2），
∴PQ=$-\frac{1}{2}$m²$-\frac{3}{2}$m+2-（$\frac{1}{2}$m+2）
=$-\frac{1}{2}$m²-2m，
∵S_△PAC=$\frac{1}{2}$×PQ×4，
=2PQ=-m²-4m=-（m+2）²+4，
∴当m=-2时，△PAC的面积有最大值是4，
此时P（-2，3）．
（3）方法一：
在Rt△AOC中，tan∠CAO=$\frac{1}{2}$在Rt△BOC中，tan∠BCO=$\frac{1}{2}$，
∴∠CAO=∠BCO，
∵∠BCO+∠OBC=90°，
∴∠CAO+∠OBC=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC∽△ACO∽△CBO，
如下图：

①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；
②根据抛物线的对称性，当M（-3，2）时，△MAN∽△ABC；
③当点M在第四象限时，设M（n，$-\frac{1}{2}$n²$-\frac{3}{2}$n+2），则N（n，0）
∴MN=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n-2，AN=n+4
当$\frac{MN}{AN}=\frac{1}{2}$时，MN=$\frac{1}{2}$AN，即$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n-2=$\frac{1}{2}$（n+4）
整理得：n²+2n-8=0
解得：n₁=-4（舍），n₂=2
∴M（2，-3）；
当$\frac{MN}{AN}=\frac{2}{1}$时，MN=2AN，即$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n-2=2（n+4），
整理得：n²-n-20=0
解得：n₁=-4（舍），n₂=5，
∴M（5，-18）．
综上所述：存在M₁（0，2），M₂（-3，2），M₃（2，-3），M₄（5，-18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．

方法二：
∵A（-4，0），B（1，0），C（0，2），
∴K_AC×K_BC=-1，
∴AC⊥BC，MN⊥x轴，
若以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，
则$\frac{MN}{NA}=\frac{AC}{BC}$，$\frac{MN}{NA}=\frac{BC}{AC}$，
设M（2t，-2t²-3t+2），
∴N（2t，0），
①|$\frac{2{t}^{2}+3t-2}{2t+4}$|=$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$，
∴|$\frac{2t-1}{2}$|=$\frac{1}{2}$，
∴2t₁=0，2t₂=2，
②|$\frac{2{t}^{2}+3t-2}{2t+4}$|=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$，
∴|$\frac{2t-1}{2}$|=2，∴2t₁=5，2t₂=-3，
综上所述：存在M₁（0，2），M₂（-3，2），M₃（2，-3），M₄（5，-18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．

点评 本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，难度较大，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质．