Question

8．已知⊙O的直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ于点P．
（Ⅰ）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
（Ⅱ）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如图1连接OQ，首先求出OP，再在Rt△OPQ中，利用勾股定理解决问题．
（Ⅱ）如图2连接OQ，当OP⊥BC时，求Q长的最大，根据勾股定理即可解决问题．

解答 解：（Ⅰ）如图1中，连接OQ．
在Rt△POB中，∵OB=3，∠PBO=30°，∠POB=90°，
∴OP=OB•tan30°=$\sqrt{3}$，
在Rt△OQP中，PQ=$\sqrt{O{Q}^{2}-O{P}^{2}}$=$\sqrt{9-3}$=$\sqrt{6}$．

（Ⅱ）如图2中连接OQ，当OP⊥BC时，PQ长的最大．
此时OP=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{3}{2}$，
在Rt△OPQ中，PQ=$\sqrt{O{Q}^{2}-O{P}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$．

点评 本题考查圆的有关知识、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．