Question

3．已知Rt△ABD中，边AB=OB=1，∠ABO=90°
问题探究：
（1）以AB为边，在Rt△ABO的右边作正方形ABC，如图（1），则点O与点D的距离为$\sqrt{5}$．
（2）以AB为边，在Rt△ABO的右边作等边三角形ABC，如图（2），求点O与点C的距离．
问题解决：
（3）若线段DE=1，线段DE的两个端点D，E分别在射线OA、OB上滑动，以DE为边向外作等边三角形DEF，如图（3），则点O与点F的距离有没有最大值，如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OD，在Rt△ODC中，根据OD=$\sqrt{O{C}^{2}+C{D}^{2}}$计算即可．
（2）如图2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，连接OC．在Rt△OCE中，根据OC=$\sqrt{O{E}^{2}+C{E}^{2}}$计算即可．
（3）如图3中，当OF⊥DE时，OF的值最大，设OF交DE于H，在OH上取一点M，使得OM=DM，连接DM．分别求出MH、OM、FH即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，连接OD，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=1，∠C=90°
在Rt△ODC中，∵∠C=90°，OC=2，CD=1，
∴OD=$\sqrt{O{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
故答案为$\sqrt{5}$．

（2）如图2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，连接OC．

∵∠FBE=∠E=∠CFB=90°，
∴四边形BECF是矩形，
∴BF=CF=$\frac{1}{2}$，CF=BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△OCE中，OC=$\sqrt{O{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{（1+\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$．

（3）如图3中，当OF⊥DE时，OF的值最大，设OF交DE于H，在OH上取一点M，使得OM=DM，连接DM．

∵FD=FE=DE=1，OF⊥DE，
∴DH=HE，OD=OE，∠DOH=$\frac{1}{2}$∠DOE=22.5°，
∵OM=DM，
∴∠MOD=∠MDO=22.5°，
∴∠DMH=∠MDH=45°，
∴DH=HM=$\frac{1}{2}$，
∴DM=OM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵FH=$\sqrt{D{F}^{2}-D{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OF=OM+MH+FH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}{2}$．
∴OF的最大值为$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}{2}$．

点评 本题考查四边形综合题、勾股定理、等边三角形的性质、正方形的性质等知识，教育的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会在特殊位置寻找最值问题，属于中考压轴题．