Question

如图，开口向下的抛物线y=ax²-4ax-5a交x轴于A、B（A左B右）两点，交y轴于点C．
（1）求线段AB的长；
（2）设抛物线的顶点为D，若S_△BCD=15，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，P、Q为线段BC上两点（P左Q右，P、Q不与B、C重合），PQ=2

2

，在第一象限的抛物线上是否存在这的这样的点R，使△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把y=0代入抛物线y=ax²-4ax-5a得x²-4x-5=0，解方程可以得到A（-1，0），B（5，0），再根据两点间的距离公式即可得到AB=6；
（2）根据对称轴得到顶点D（2，-9a），过点D作DE⊥y轴于点E，根据S_△BCD=S_梯形EOBD-S_△CDE-S_△COB得到关于a的方程，求得a的值，即可得到抛物线的解析式；
（3）分三种情况：①以点P为直角顶点；②以点R为直角顶点；③以点Q为直角顶点；进行讨论可得使△PQR为等腰直角三角形时点R的坐标．

解答：解：（1）把y=0代入抛物线y=ax²-4ax-5a得ax²-4ax-5a=0，
∵a≠0，
∴两边同时除以a，得x²-4x-5=0，
解得x₁=5，x₂=-1，
∴A（-1，0），B（5，0），
∴AB=6．

（2）对称轴的解析式为x=-

-4a

2a

=2
把x=2代入y=ax²-4ax-5a
y=-9a，
S_△PAC=S_△PAE+S_△PEC=

1

2

PE•OC=-t²+8t，
D（2，-9a），
过点D作DE⊥y轴于点E．

S_△BCD=S_梯形EOBD-S_△CDE-S_△COB
=

1

2

(DE+OB)•OE-

1

2

DE•CE-

1

2

OB•OC
=-15a
∵-15a=15，
∴a=-1
∴抛物线的解析式为：y=-x²+4x+5．

（3）分三种情况：
①以点P为直角顶点

∵PQ=2

2

，
∴RQ=

2

PQ=4
∵C（0，5），B（5，0），
∴OC=OB=5，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵∠RQP=45°
∴RQ∥OC
可求得直线BC的解析式为y=-x+5，
设R（m，-m²+4m+5），则Q（m，-m+5）
则RQ=（-m²+4m+5）-（-m+5）=4
解得m₁=4，m₂=1，
∵点Q在点P右侧，
∴m=4，
∴R（4，5）；
②以点R为直角顶点

∵PQ=2

2

，
∴RQ=

2

2

PQ=2
设R（m，-m²+4m+5）则Q（m，-m+5）
则RQ=（-m²+4m+5）-（-m+5）=2
解得 m1=

5+ 17

2

，m2=

5- 17

2

，
∵点Q在点P右侧，
∴m=

5+ 17

2

∴R（

5+ 17

2

，

9- 17

2

）；
③以点Q为直角顶点

∵PQ=2

2

∴PR=

2

PQ=4
∵C（0，5），B（5，0）
∴OC=OB=5
∴∠OCB=∠OBC=45°
∵∠RPQ=45°，
∴PR∥OB
设R（m，-m²+4m+5），则P（m-4，-m²+4m+5），
把P（m-4，-m²+4m+5）代入y=-x+5，得-（m-4）+5=-m²+4m+5
解得m₁=4，m₂=1，
此时点P（0，5）
因为点P在线段BC上运动，且不与B、C重合，所以不存在以Q为直角顶点的情况．
综上所述：当 R（4，5）或（

5+ 17

2

，

9- 17

2

）时，△PQR为等腰直角三角形．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上的点的坐标特征，两点间的距离公式，抛物线的对称轴，面积计算，求抛物线的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，以及分类思想的应用，综合性较强，有一定的难度．