Question

【题目】在同一平面内，若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△ABC的巧妙点.

（1）如图1，求作△ABC的巧妙点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.

（2）如图2，在△ABC中，∠A=80°，AB=AC，求作△ABC的所有巧妙点P （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出∠BPC的度数是 .

（3）等边三角形的巧妙点的个数有（ ）

A.2 B.6 C.10 D.12

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) 40°,160° ，140° ，80°;(3)C.

【解析】

（1）根据题意可知，巧妙点必在某条边的垂直平分线上，所以只需要作出两边的垂直平分线即可找到巧妙点；
（2）根据题意分别以A、C为圆心，AC为半径画圆，交BC边的垂直平分线的点即为点P，连接两圆的交点与BC边的垂直平分线的交点也为点P，最后分类讨论即可求∠BPC的度数；
（3）分别以等边三角形的三条边作其垂直平分线，再分别以等边三角形的三个顶点为圆心，等边三角形的边长为半径画圆，分别与三条边的垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点.

解：（1）作BC边的垂直平分线：分别以B、C为圆心，大于的长为半径画弧，连接其圆弧的交点；
同理作AB边的垂直平分线：分别以A、B为圆心，大于的长为半径，连接其圆弧的交点；
AB边的垂直平分线与BC边的垂直平分线的交点即为巧妙点P.

∴点P为所求.

（2）作BC边上的垂直平分线，再分别以A、C为圆心，AC为半径画圆，交BC边的垂直平分线的交点从上至下依次为 ,连接两圆的交点，交CB边的垂直平分线的交点为， 即为所求.

①接,
∵,
∴,
∵
∴；
②连接,
∵是AC、BC边的垂直平分线的交点，
∴
∴,

即：
③接 ,
∵,为BC边上的垂直平分线，
∴
∵,
∴
∴；
④连接，
∵,,为BC边上的垂直平分线,
∴,
∴,；
综上所述的度数可能为.

（3）分别以等边三角形的三条边作其对应边的垂直平分线，再分别以等边三角形的三个顶点为圆心，等边三角形的边长为半径画圆，分别与三条边的垂直平分线的交点和三条垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点.如下图：巧妙点P有10个，故选C.