Question

已知：如图1，直线y=x+2与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于点A、B，与双曲线y=

k

x

交于第一象限内的点P，且S_△PBO=1，点C与点B关于x轴对称．
（1）求k的值；
（2）如图2，N为x轴正半轴上一点，过A、P、N的圆与直线AC交于点Q，QM⊥x轴于M，求MN的长；
（3）如图3，D为线段AO上一动点，连BD，将线段BD绕点D顺时针旋转90°，B点的对应点为E，直线CE与x轴交于F，求

DO

EF

的值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）如图1，首先利用反比例函数的性质得出xy=k，进而得出S_△POD=

k

2

，再利用一次函数解析式得出OA=OB，即可得出P点坐标，求出解析式即可；
（2）如图2，连接PN、QN，过P作PD⊥x轴于点D，利用全等三角形的判定得出△NPD≌△QNM，进而得出MN=PD即可；
（3）如图3，连接DC、BF，过E作EH⊥x轴于点H，首先证明△FBD≌△FCD进而得出∠BFO=∠CFO=45°，FO=BO=AO，再利用已知得出△BDO≌△DEH，即可得出DO=EH=

2

2

EF，即可求得答案．

解答：（1）解：如图1，过P作PD⊥y轴，
∵直线y=x+2与x、y轴分别交于点A、B，与双曲线y=

k

x

交于点P，
∴xy=k，
∴S_△POD=

k

2

，
∵S_△PBO=1，
∴S_△PBD=

1

2

，
由条件可知A（-2，0），B（0，2），
∴OA=OB，
∴PD=BD，
∴

1

2

PD²=

1

2

，
∴PD=1，
∴P（1，3），代入y=

k

x

，得
k=xy=1×3=3；

（2）解：如图2，连接PN、QN，过P作PD⊥x轴于点D，
∵∠PAN=∠QAN=45°，
∴PN=QN，∠PNQ=90°，
∴∠PND+∠MNQ=90°，
∵∠PND+∠NPD=90°，
∴∠NDP=∠QMN，
∵在△NPD和△QNM中，

∠NDP=∠QMN ∠DPN=∠MNQ PN=QN

，
∴△NPD≌△QNM（AAS），
∴MN=PD=3；         

（3）解：如图3，连接DC、BF，过E作EH⊥x轴于点H，
∵BO=CO，DO⊥BC，
∴DB=DC=DE，BF=CF，
∵在△FBD和△FCD中，

FB=FC BD=CD FD=FD

，
∴△FBD≌△FCD（SSS），
∴∠DEC=∠DCF=∠DBF，
∴∠DEF+∠DBF=180°，
∴∠BFC=90°，
∴∠BFO=∠CFO=45°，FO=BO=AO，
∵将线段BD绕点D顺时针旋转90°，B点的对应点为E，
∴∠BDE=90°，
∵∠BDO+∠HDE=90°，∠DBO+∠BDO=90°，
∴∠DBO=∠HDE，
∵在△BDO和△DEH中，

∠DOB=∠EHD ∠DBO=∠HDE BD=DE

，
∴△BDO≌△DEH（AAS），
∴DO=EH=

2

2

EF，
∴

DO

EF

=

(OF+OD)-(OA-OD)

EF

=

2OD

EF

=

2× 2 2 EF

EF

=

2

．

点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用以及一次函数的综合应用和全等三角形的判定与性质等知识，注意数形结合的应用，根据已知得出DO=EH=

2

2

EF是解题的关键．