Question

如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，P为BC边的中点，PD⊥AC．求证：CD=3AD．

Answer 1

考点：含30度角的直角三角形

专题：证明题

分析：连接AP，根据等腰三角形三线合一的性质可得AP⊥BC，根据等腰三角形两底角相等求出∠C=30°，再求出∠APD=∠C=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AP=2AD，AC=2AP，整理即可得证．

解答：证明：如图，连接AP，
∵AB=AC，P为BC边的中点，
∴AP⊥BC，
∵∠BAC=120°，
∴∠C=

1

2

（180°-∠BAC）=

1

2

（180°-120°）=30°，
∵PD⊥AC，
∴∠CPD+∠C=90°，
又∵∠APD+∠CPD=90°，
∴∠APD=∠C=30°，
∴AP=2AD，AC=2AP，
∴AC=4AD，
∴CD=AC-AD=4AD-AD=3AD，
即CD=3AD．

点评：本题考查了直角三角形°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质并作出辅助线是解题的关键．