Question

5．如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=25°，∠DEC=115°；
（2）点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小（填“大”或“小”）；
（3）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（4）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求出∠BDA的度数，若不可以，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据AB=AC可得出∠C=40°，再根据平角为180°以及三角形内角和为180°即可算出∠EDC以及∠DEC的度数；
（2）根据三角形的内角和为180°即可得出∠BDA=140°-∠BAD，再根据∠BAD逐渐变大即可得出∠BDA逐渐变小；
（3）根据平角为180°以及三角形内角和为180°通过角的计算即可得出∠EDC=∠DAB，结合∠B=∠C即可得出△ABD∽△DCE，再根据△ABD≌△DCE利用全等三角形的性质即可得出DC=AB=4；
（4）分AD=AE、DA=DE以及EA=ED三种情况考虑△ADE为等腰三角形，根据等腰三角形的性质结合角的计算求出∠BDA的度数即可得出结论．

解答 解：（1）∵AB=AC=4，∠B=40°，
∴∠C=40°．
∵∠BDA+∠ADE+∠EDC=180°，∠ADE=40°，∠BDA=115°，
∴∠EDC=180°-115°-40°=25°．
∵∠EDC+∠C+∠DEC=180°，
∴∠DEC=180°-25°-40°=115°．
故答案为：25；115．
（2）∵∠B+∠BDA+∠BAD=180°，
∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=140°-∠BAD．
∵随着点D从B向C运动，∠BAD越来越大，
∴点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小．
故答案为：小．
（3）当DC=4时，△ABD≌△DCE，理由如下：
∵∠EDC+∠EDA+∠ADB=180°，∠DAB+∠B+∠ADB=180°，∠B=∠EDA=40°，
∴∠EDC=∠DAB．
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE．
∴当DC=AB=4时，△ABD≌△DCE．
（4）△ADE为等腰三角形分三种情况：
①AD=AE．
∵∠ADE=40°，AD=AE，
∴∠AED=∠ADE=40°，∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=100°．
∵∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，D不与B、C重合，
∴∠DAE＜∠BAC，即100°＜100°，
∴AD≠AE；
②DA=DE．
∵∠ADE=40°，DA=DE，
∴∠DAE=∠DEA=$\frac{1}{2}$（180°-∠ADE）=70°，
∴∠BDA=∠DEC=180°-∠AED=110°；
③EA=ED．
∵∠ADE=40°，EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA=40°，∠AED=180°-∠EAD-∠EDA=100°，
∴∠BDA=∠DEC=180°-∠AED=80°．
综上可知：在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形，此时∠BDA的度数为80°或110°．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定以及全等三角形的性质，解题的关键是：（1）通过角的计算求出∠EDC以及∠DEC的度数；（2）找出∠BDA=140°-∠BAD；（3）根据全等三角形的性质找出DC=AB；（4）分AD=AE、DA=DE以及EA=ED三种情况考虑．