Question

13．已知x₁，x₂是一元二次方程4kx²-4kx+k+1=0的两个实根．
（1）是否存在实数k，使得x₁=3x₂成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
（2）求使$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-2的值为整数的实数k的整数值．

Answer 1

分析 （1）假设存在实数k，使得x₁=3x₂，根据根的判别式可得出△=-16k，进而可得出k≤0以及x₁、x₂的值，再根据x₁=3x₂即可得出关于k的分式方程，解方程并检验后即可得出结论；
（2）由根与系数的关系可得出x₁+x₂=-$\frac{-4k}{4k}$=1、x₁•x₂=$\frac{k+1}{4k}$，将$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-2变形为$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}•{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$-2，代入数据可得-$\frac{4}{k+1}$，根据$\frac{4}{k+1}$为整数以及k≤0即可找出k的值，再由分母不能为0即可得出结论．

解答 解：（1）假设存在实数k，使得x₁=3x₂，
在方程4kx²-4kx+k+1=0中，△=（-4k）²-4×4k×（k+1）=-16k，
∴k≤0，
∴x₁=$\frac{4k+\sqrt{-16k}}{8k}$，x₂=$\frac{4k-\sqrt{-16k}}{8k}$．
∵x₁=3x₂，
∴$\frac{4k-\sqrt{-16k}}{8k}$=3×$\frac{4k+\sqrt{-16k}}{8k}$，
解得：k₁=-4，k₂=0．
经检验k=-4是方程$\frac{4k-\sqrt{-16k}}{8k}$=3×$\frac{4k+\sqrt{-16k}}{8k}$的解．
故当k=-4时，x₁=3x₂．
（2）∵x₁，x₂是一元二次方程4kx²-4kx+k+1=0的两个实根，
∴x₁+x₂=-$\frac{-4k}{4k}$=1，x₁•x₂=$\frac{k+1}{4k}$，
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-2=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$-2=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}•{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$-2=$\frac{1}{\frac{k+1}{4k}}$-4=-$\frac{4}{k+1}$，
∵$\frac{4}{k+1}$为整数，且k≤0，
∴k=-5，-3，-2，0．
∵x₁+x₂=-$\frac{-4k}{4k}$=1，x₁•x₂=$\frac{k+1}{4k}$，
∴k≠0．
∴使$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-2的值为整数的实数k的整数值为-5、-3或-2．

点评 本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解分式方程，根据根与系数的关系以及求根公式找出关于k的方程是解题的关键．