Question

（2012•嘉定区一模）如图，已知等边△ABC的边长为6，点D是边BC上的一个动点，折叠△ABC，使得点A恰好与边BC上的点D重合，折痕为EF（点E、F分别在边AB、AC上）．
（l）当AE：AF=5：4时，求BD的长；
（2）当ED⊥BC时，求EB的值；
（3）当以B、E、D为顶点的三角形与△DEF相似时，求BE的长．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质得到∠A=60°，∠B=60°，∠C=60°，则∠BDE+∠BED=120°，根据折叠的性质得∠EDF=∠A=60°，AE=DE，AF=DF，则∠BDE+∠FDC=120°，得到∠BDE=∠DFC，根据三角形相似的判定得△BED∽△CDF，根据相似的性质有

BD

FC

=

DE

FD

=

BE

DC

；设AE=DE=5x，AF=FD=4x，BE=6-5x，FC=6-4x，则BD=

5

4

FC=

5

4

（6-4x），DC=

4

5

BE=

4

5

（6-5x），即有

5

4

（6-4x）+

4

5

（6-5x）=6，解出x即可计算出BD的长；
（2）由ED⊥BC，得到∠BDE=90°，而∠B=60°，AB=6，BE=x，则AE=ED=6-x，利用60°的正弦得到sin60°=

ED

BE

=

3

2

，则6-x=

3

2

x，解方程即可；
（3）讨论：当△BED∽△DEF，则

BE

DE

=

BD

DF

，即

BE

BD

=

DE

DF

，由（1）得△BED∽△CDF，

BD

FC

=

DE

FD

=

BE

DC

，则

BE

BD

=

BE

DC

，所以BD=DC，则AD垂直平分BC，得到EF为△ABC的中位线，即可求出BE；当△BDE∽△DEF，得到∠BDE=∠DEF，则EF∥BC，也得到EF为△ABC的中位线，即可求出BE．

解答：解：（1）∵三角形ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，∠B=60°，∠C=60°，
∴∠BDE+∠BED=120°，
又∵折叠△ABC，使得点A恰好与边BC上的点D重合，折痕为EF，
∴∠EDF=∠A=60°，AE=DE，AF=DF，
∴∠BDE+∠FDC=120°，
∴∠BDE=∠DFC，
∴△BED∽△CDF，
∴

BD

FC

=

DE

FD

=

BE

DC

，
当AE：AF=5：4，设AE=DE=5x，AF=FD=4x，BE=6-5x，FC=6-4x，
∴

BD

FC

=

5

4

=

BE

DC

，
∴BD=

5

4

FC=

5

4

（6-4x），DC=

4

5

BE=

4

5

（6-5x）
∴BD+DC=6，即

5

4

（6-4x）+

4

5

（6-5x）=6，
解得x=

7

10

，
∴BD=

5

4

（6-4×

7

10

）=4；

（2）如图，
∵ED⊥BC，
∴∠BDE=90°，
而∠B=60°，AB=6，
设BE=x，则AE=ED=6-x，
∴sinB=sin60°=

ED

BE

=

3

2

，
∴6-x=

3

2

x，
解得x=12（2-

3

），
∴BE=24-12

3

；

（3）∵以B、E、D为顶点的三角形与△DEF相似，
当△BED∽△DEF，
∴

BE

DE

=

BD

DF

，即

BE

BD

=

DE

DF

，
又∵△BED∽△CDF，
∴

BD

FC

=

DE

FD

=

BE

DC

，
∴

BE

BD

=

BE

DC

，
∴BD=DC，
∴AD垂直平分BC，
∴EF为△ABC的中位线，
∴BE=3；
当△BDE∽△DEF，
∴∠BDE=∠DEF，
∴EF∥BC，
而EF垂直平分AD，
∴EF为△ABC的中位线，
∴BE=3．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两个角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了折叠的性质以及等腰三角形的性质．