Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．

（1）求证：△AEB～△CFB；

（2）若AE＝2EC，BC＝6．求AB的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）12

【解析】

（1）利用同角的余角相等可得出∠A＝∠BCF，由角平分线的定义可得出∠ABE＝∠CBF，进而可证出△AEB～△CFB；

（2）过点E作EM⊥AB于点M，由AE＝2EC可得出S△ABE＝2S△CBE，结合三角形的面积公式及角平分线的性质可得出AB＝2BC，再代入BC＝6即可得出结论．

（1）证明：CD⊥AB，

∴∠ADC＝90°，

∴∠A+∠ACD＝90°．

∵∠ACD+∠BCF＝90°，

∴∠A＝∠BCF．

又∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBF，

∴△AEB∽△CFB．

（2）解：过点E作EM⊥AB于点M，如图所示．

∵AE＝2EC，

∴S△ABE＝2S△CBE，即ABEM＝2×BCCE．

∵BE平分∠ABC，

∴EM＝CE，

∴AB＝2BC＝12．