Question

如图，正方形ABCD的边长为6，以D为圆心、DA为半径作⊙D，E在AB上，AE=2，EF切⊙D于G，交BC于F，
（1）求证：BF=CF；
（2）求tan∠CBG的值．

Answer 1

考点：切线的性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）利用切线长定理得出AE=EG=2，FC=FG，进而利用勾股定理得出FC的长，即可得出答案；
（2）利用（1）中所求，再得出△FGH∽△FEB，进而利用相似三角形的性质得出BH，HF的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．

解答：（1）证明：∵EF切⊙D于G，以D为圆心、DA为半径作⊙D，
∴AE=EG=2，FC=FG，
不妨设FC=FG=x，
在△BEF中，
（2+x）²=4²+（6-x）²
解得：x=3，
即FC=3，
故BF=6-3=3
即BF=FC；

（2）解：过G作GH⊥BF于H，
由（1）得：
∵BE=6-2=4，BF=3，
∴EF=5，
∵∠FBE=∠GHF，∠HFG=∠BFE，
∴△FGH∽△FEB，
∴

GH

BE

=

FG

EF

=

HF

BF

，
∴GH=

4×3

5

=

12

5

，HF=

9

5

∴BH=

6

5

，
∴tan∠CBG=

GH

BH

=

12 5

6 5

=2．

点评：此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，得出△FGH∽△FEB求出BH，HF的长是解题关键．