Question

如图，AB是⊙O的直径，BE是弦，C是劣弧BE的中点，过C作CD⊥AB于D，CD交BE于点F，过C作CG∥BE交AB延长线于点G．
（1）求证：CG是⊙O的切线；
（2）求证：BF=CF；
（3）若∠EBA=30°，CF=2，求BG的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）连结OC交BE于点H，延长CD交⊙O于Q，如图，根据垂径定理，由C是劣弧BE的中点得到OC⊥BE，而CG∥BE，根据平行线的性质得OC⊥CG，然后根据切线的判定定理可判断CG是⊙O的切线；
（2）根据垂径定理，由CD⊥AB，

BC

=

BQ

，加上

CE

=

BC

，则

BQ

=

CE

，于是根据圆周角定理可得∠CBE=∠BCQ，然后根据等腰三角形的判定有BF=CF；
（3）由（2）的结论得BF=CF=2，在Rt△BFD中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到DF=

1

2

BF=1，BD=

3

DF=

3

，由于BF∥CG，根据平行线分线段成比例定理可计算出BG．

解答：（1）证明：连结OC交BE于点H，延长CD交⊙O于Q，如图，
∵C是劣弧BE的中点，
∴OC⊥BE，
∵CG∥BE，
∴OC⊥CG，
∴CG是⊙O的切线；
（2）证明：∵CD⊥AB，
∴

BC

=

BQ

，
而C是劣弧BE的中点，
∴

CE

=

BC

，
∴

BQ

=

CE

，
∴∠CBE=∠BCQ，
∴BF=CF；
（3）解：在Rt△BDF中，BF=CF=2，∠FBD=30°，
∴DF=

1

2

BF=1，BD=

3

DF=

3

，
∵BF∥CG，
∴

DF

FC

=

BD

BG

，即

1

2

=

3

BG

，
∴BG=2

3

．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了垂径定理和平行线分线段成比例定理．