Question

4．如图1，正方形ABCD的边长为12cm，点P在正方形的边上从A→B→C以4cm/s的速度运动，同时点Q在正方形的边上从C→D以1cm/s的速度运动，设运动时间为t秒（0＜t≤6）．

（1）当PQ∥BD时，求t的值；
（2）如图2，当点P在BC边上时，连接PA交BD于点E，连接CE，若DP⊥CE，求t的值；
（3）当点A到PQ所在直线的距离为12cm时，求出t的值．

Answer 1

分析 （1）当PQ∥BD时，则BP=DQ，根据题意得出方程，解方程即可；
（2）延长CE交AB于F，由正方形的性质得出∠BAD=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC=CD，∠ABE=∠CBE=45°，由AAS证明△CDP≌△BCF，得出CP=BF，由SAS证明△ABE≌△CBE，得出∠4=∠2，再由ASA证明△ABP≌△CBF，得出BP=BF，得出方程，解方程即可；
（3）当点A到PQ所在直线的距离为12cm时，则PQ在CD上，即P点与C点重合，即可求出t的值．

解答 解：（1）当PQ∥BD时，如图1所示：
则BP=DQ，
根据题意得：CQ=t，DQ=12-t，BP=4t-12，
∴4t-12=12-t，
解得：t=$\frac{24}{5}$；
（2）延长CE交AB于F，如图2所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC=CD，∠ABE=∠CBE=45°，
∴∠1+∠2=90°，
∵DP⊥CE，
∴∠CGD=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠3=∠2，
在△CDP和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PCD=∠FBC}&{\;}\\{∠3=∠2}&{\;}\\{CD=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDP≌△BCF（AAS），
∴CP=BF，
∵BP=4t-12，
∴BF=CP=12-（4t-12）=24-4t，
在△ABE和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}&{\;}\\{∠ABE=∠CBE}&{\;}\\{BE=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠4=∠2，
在△ABP和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠4=∠2}&{\;}\\{AB=CB}&{\;}\\{∠ABP=∠CBF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBF（ASA），
∴BP=BF，
即4t-12=24-4t，
解得：t=$\frac{9}{2}$；
即若DP⊥CE，t的值为$\frac{9}{2}$；
（3）当点A到PQ所在直线的距离为12cm时，如图3所示：
则PQ在CD上，
即P点与C点重合，
t=（AB+BC）÷4=24÷4=6（s）．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、解方程等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（2）中，需要三次证明三角形全等才能得出结果．