Question

3．定义：一个矩形的两邻边之比为$\sqrt{3}$，则称该矩形为“特比矩形”．
（1）如图①，在“特比矩形”ABCD中，$\frac{AB}{BC}$=$\sqrt{3}$，求∠AOD的度数；
（2）如图②，特比矩形CDEF的边CD在半圆O的直径AB上，顶点E、F在半圆上，已知直径AB=$\sqrt{7}$，求矩形CDEF的面积；
（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为$\sqrt{3}$，点Q的坐标为（q，2$\sqrt{3}$），如果在⊙O上存在一点P，过点P作x轴的垂线与过点Q作y轴的垂线交于点M，过点P作y轴的垂线与过点Q作x轴的垂线交于点N，以点P、Q、M、N为顶点的矩形是“特比矩形”，请直接写出q的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\sqrt{3}$，推出∠ACB=60°，由OC=OB，推出△OBC是等边三角形即可解决问题．
（2）如图②中，连接OE，设DE=a，则CD=$\sqrt{3}$a，由Rt△FOC≌Rt△EDO，推出OC=OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，在Rt△OED中，OE=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，根据OE²=DE²+OD²，列出方程即可解决问题．
（3）取两个特殊点，求出点Q的坐标，再根据对称性即可解决问题．

解答 解：（1）如图①中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=OC=OD=OB，
∴tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ACB=60°，∵OC=OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠AOD=∠BOC=60°．

（2）如图②中，连接OE，设DE=a，则CD=$\sqrt{3}$a，

∵CF=DE，OE=OF，∠FCO=∠EDO=90°，
∴Rt△FOC≌Rt△EDO，
∴OC=OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
在Rt△OED中，OE=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∵OE²=DE²+OD²，
∴$\frac{7}{4}$=a²+$\frac{3}{4}$a²，
∴a=1（负根已经舍弃），
∴DE=1，CD=$\sqrt{3}$，
∴矩形CDEF的面积=1×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．

（3）如图③中，

①当点P在x轴正半轴上，易知PM=2$\sqrt{3}$，
∵四边形PMQN是“特比矩形”，
∴MQ=$\sqrt{3}$PM=6，此时Q（$\sqrt{3}$+6，2$\sqrt{3}$），
当点P′在y轴的正半轴上时，P′M′=$\sqrt{3}$，
∵四边形PMQN是“特比矩形”，
∴P′M′=$\sqrt{3}$M′Q′，
∴M′Q′=1，
∴Q′（1，2$\sqrt{3}$），
根据对称性、观察图象可知：点Q的横坐标q的取值范围为1≤≤$\sqrt{3}$+6或-$\sqrt{3}$-6≤q≤-1．

点评 本题考查圆综合题、矩形的性质、锐角三角函数、“特比矩形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊点解决问题，属于中考压轴题．