Question

如图，已知Rt△ABC中，M是斜边BC的中点，D、E分别在AB、AC上，且DM⊥ME，BD=3，CE=4．求：线段DE的长．

Answer 1

分析：把△MCE绕M点旋转180°得△MBF，连DF，根据旋转的性质得BF=EC=4，∠ECB=∠FBM，ME=MF，而∠ABC+∠ACB=90°，得到∴∠DBF=90°，根据勾股定理可计算出DF=5，又DM⊥ME，而ME=MF，得到△DFE为等腰三角形，即可得到线段DE的长．

解答：解：∵M是斜边BC的中点，
∴把△MCE绕M点旋转180°得△MBF，连DF，如图，
∴BF=EC=4，∠ECB=∠FBM，ME=MF，
而△ABC为Rt△，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠DBF=∠DBM+∠MBF=∠ABC+∠ACB=90°，
而BD=3，
∴DF=

32+42

=5，
又∵DM⊥ME，而ME=MF，
∴△DFE为等腰三角形，
∴DE=DF=5．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了直角三角形的性质、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．