Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AD=5，AB=DC=2．
（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长；
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q．
①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②当CE=1时，写出AP的长．（不必写解答过程）

Answer 1

（1）∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB=DC．
∴∠A=∠D
∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A
∴∠ABP=∠DPC，
∴△ABP∽△DPC
∴

AP

CD

=

AB

PD

，即：

AP

2

=

2

5-AP

解得：AP=1或AP=4．

（2）①由（1）可知：△ABP∽△DPQ
∴

AP

DQ

=

AB

PD

，即：

x

2+y

=

2

5-x

，
∴y=-

1

2

x2+

5

2

x-2（1＜x＜4）．
②当CE=1时，
∵△PDQ∽△ECQ，
∴

CE

PD

=

CQ

DQ

，

1

5-x

=

y

y+2

或

1

5+x

=

y

y-2

，
∵y=-

1

2

x2+

5

2

x-2，
解得：AP=2或3-

5

（舍去）．