Question

（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l_x）（x为自然数）．
（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l₁）、P（l₂）都是过点P的△ABC的相似线（其中l₁⊥BC，l₂∥AC），此外，还有

1

条；
（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当

BP

BA

=

1

2

或

3

4

或

3

4

时，P（l_x）截得的三角形面积为△ABC面积的

1

4

．

Answer 1

分析：（1）过点P作l₃∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC，l₃是第3条相似线；
（2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线．总共有4条，注意不要遗漏．

解答：解：（1）存在另外 1 条相似线．
如图1所示，过点P作l₃∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC；
故答案为：1；

（2）设P（l_x）截得的三角形面积为S，S=

1

4

S_△ABC，则相似比为1：2．
如图2所示，共有4条相似线：
①第1条l₁，此时P为斜边AB中点，l₁∥AC，∴

BP

BA

=

1

2

；
②第2条l₂，此时P为斜边AB中点，l₂∥BC，∴

BP

BA

=

1

2

；
③第3条l₃，此时BP与BC为对应边，且

BP

BC

=

1

2

，∴

BP

BA

=

BP

BC cos30°

=

3

4

；
④第4条l₄，此时AP与AC为对应边，且

AP

AC

=

1

2

，∴

AP

AB

=

AP

AC sin30°

=

1

4

，∴

BP

BA

=

3

4

．
故答案为：

1

2

或

3

4

或

3

4

．

点评：本题引入“相似线”的新定义，考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的运算；难点在于找出所有的相似线，不要遗漏．