题目内容

如图，正△ABC中，P为正三角形内任意一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC连结AP、BP、CP，如果 $数学公式$ ，那么△ABC的内切圆半径为

A.
1
B.
$数学公式$
C.
2
D.
$数学公式$

A
分析：过P点作正△ABC的三边的平行线，可得△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形，故可知黑色部分的面积=白色部分的面积，于是求出三角形ABC的面积，进而求出等边三角形的边长和高，再根据等边三角形的内切圆的半径等于高的三分之一即可求出半径的长度．
解答：

解：如图，过P点作正△ABC的三边的平行线，则△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，四边形ASPM，四边形NCDP，四边形PQBR是平行四边形，
故可知黑色部分的面积=白色部分的面积，
又知S_△AFP+S_△PCD+S_△BPE= $\text{[math]}$ ，故知S_△ABC=3 $\text{[math]}$ ，
S_△ABC= $\text{[math]}$ AB²sin60°=3 $\text{[math]}$ ，
故AB=2 $\text{[math]}$ ，三角形ABC的高h=3，
△ABC的内切圆半径r= $\text{[math]}$ h=1．
故选A．
点评：本题主要考查等边三角形的性质，面积及等积变换，解答本题的关键是过P点作三角形三边的平行线，证明黑色部分的面积与白色部分的面积相等，此题有一定难度．