Question

如图，正△ABC中，MN∥AC，

BM

AM

=

3

2

，D为AC上的一点，O为△BMN的外心，如果

S△AOD

S△ABC

=

1

5

，那么

AD

AC

为

1

3

．

Answer 1

分析：连BO交MN于F，交AC于E；由△ABC为等边三角形，MN∥AC得△BMN为等边三角形，而O为△BMN的外心，根据等边三角形的性质得到BF⊥MN，且O为△BMN的内心，则BO：OF=2，易得BE⊥AC，BO：BF=2：3①；再利用平行线分线段成比例定理得BF：BE=MB：BA=3：5，利用比例性质得BF：BE=3：5②，由①②得BO：BE=2：5，则OE：BE=3：5，然后根据三角形的面积公式和S_△OAD：_△ABC=1：5即可计算出AD与AC的比．

解答：解：连BO交MN于F，交AC于E，如图，
∵△ABC为等边三角形，MN∥AC
∴△BMN为等边三角形，
而O为△BMN的外心，
∴BF⊥MN，BO：OF=2，
∴BE⊥AC，BO：BF=2：3①，
又∵MN∥AC，
∴BF：BE=MB：BA，
而MB：AM=3：2，即有BM：AB=3：5，
∴BF：BE=3：5②，
由①②得BO：BE=2：5，
∴OE：BE=3：5，
而S_△OAD=

1

2

AD•OE，S_△ABC=

1

2

AC•BE，
∵S_△OAD：_△ABC=1：5，
∴

AD•OE

AC•BE

=

1

5

，
∴

AD

AC

=

1

3

．
故答案为

1

3

．

点评：本题考查了三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．也考查了等边三角形的性质、平行线分线段成比例定理以及比例的性质．