Question

如图，点C是⊙O上一动点，弦AB=6，∠ACB=120°．△ABC内切圆半径r的最大值为

 

．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：

分析：当C点运动到离AB的距离最大时，△ABC内切圆半径r的最大，即点C为弧AB的中点，连结OC交AB于D点，⊙M为△ABC的内切圆，作ME⊥AC于E点，根据垂径定理得到OC⊥AB，AD=BD=

1

2

AB=6，AC=BC，再根据等腰三角形的性质和内心的定义得到点M在CD上，则ME和MD都为⊙M的半径；且∠A=30°，∠ACD=60°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CD=

3

3

AD=

3

，CE=

3

3

EM=

3

3

r，CM=2CE=

2 3

3

r，然后利用CM+DM=CD得到

2 3

3

r+r=

3

，再解关于r的方程即可．

解答：解：当点C为弧AB的中点时，△ABC内切圆半径r的最大，如图，连结OC交AB于D点，⊙M为△ABC的内切圆，作ME⊥AC于E点，
∵点C为弧AB的中点，
∴OC⊥AB，AD=BD=

1

2

AB=6，AC=BC，
∴点M在CD上，
∴ME和MD都为⊙M的半径，
设ME=MD=r，
∵∠ACB=120゜，
∴∠A=30°，∠ACD=60°，
在Rt△ACD中，CD=

3

3

AD=

3

，
在Rt△CEM中，∠ECM=60°，∠CME=30°，
∴CE=

3

3

EM=

3

3

r，
∴CM=2CE=

2 3

3

r，
∵CM+DM=CD，
∴

2 3

3

r+r=

3

，
∴r=6-3

3

，
故答案为：6-3

3

．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了垂径定理和含30度的直角三角形三边的关系．