Question

14．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD． 
（1）若AB=16，CD=9，BD=15，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；
（2）若AB=16，CD=9，BD=24，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长； 
（3）若AB=m，CD=n，BD=l，请问在m、n、l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的三个P点？

Answer 1

分析 （1）设BP=x，则DP=15-x，再分△ABP∽△PDC 与△ABP∽△CDP两种情况进行讨论；
（2）设BP=x，则DP=24-x，再分△ABP∽△PDC 与△ABP∽△CDP两种情况进行讨论；
（3）设BP=x，则DP=l-x，再分△ABP∽△PDC 与△ABP∽△CDP两种情况进行讨论．

解答 解：（1）设BP=x，则DP=15-x
若是△ABP∽△PDC 则$\frac{AB}{PD}$=$\frac{BP}{CD}$，即$\frac{16}{15-x}$=$\frac{x}{9}$，方程无解．
若是△ABP∽△CDP 则$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BP}{DP}$，即$\frac{16}{9}$=$\frac{x}{15-x}$，解得x=9.6，
所以BP=9.6；

（2）设BP=x，则DP=24-x
若是△ABP∽△PDC 则$\frac{AB}{PD}$=$\frac{BP}{CD}$，即$\frac{16}{24-x}$=$\frac{x}{9}$，解得x=12，
若是△ABP∽△CDP 则$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BP}{DP}$，即$\frac{16}{9}$=$\frac{x}{24-x}$，解得x=15.36．
所以BP=12或15.36；

（3）设BP=x，则DP=l-x，
若是△ABP∽△CDP 则$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BP}{DP}$，即$\frac{m}{n}$=$\frac{x}{l-x}$，解之得x=$\frac{ml}{m+n}$，
若是△ABP∽△PDC 则$\frac{AB}{PD}$=$\frac{BP}{CD}$，即$\frac{m}{l-x}$=$\frac{x}{n}$，得方程：x²-lx+mn=0，
当△=l²-4mn＞0时，存在以P、A、B为顶点的三角形与以P、C、D为顶点的三角形相似的3个点P．

点评 本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质，由于此题中相似三角形的对应点不确定故应进行分类讨论．