Question

如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D．求弦AD，CD的长．

Answer 1

分析：根据圆周角定理及勾股定理可得AD的长，过E作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，F，G是垂足，则四边形CFEG是正方形，设EF=EG=x，由三角形面积公式可求出x的值，及CE的值，根据△ADE∽△CBE，根据相似比可求出DE的长，进而求出CD的长．

解答：解：∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∵AB=10cm，AC=6cm，
∴BC=

AB2-AC2

=

102-62

=8（cm）
∵CD平分∠ACB
∴

AD

=

BD

∴AD=BD
∴AD=BD=

2

2

AB=5

2

（cm）
过E作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，F，G是垂足，则四边形CFEG是正方形，
设EF=EG=x，
∴

1

2

AC•x+

1

2

BC•x=

1

2

AC•BC
∴

1

2

×6•x+

1

2

×8×x=

1

2

×6×8
∴x=

24

7

∴CE=

2

x=

24 2

7

∵∠DAB=∠DCB，
∵△ADE∽△CBE
∴DE：BE=AE：CE=AD：BC
∴DE：BE=AE：

24 2

7

=5

2

：8
∴AE=

30

7

，BE=AB-AE=10-

30

7

=

40

7

∴DE=

25 2

7

∴CD=CE+DE=

24 2

7

+

25 2

7

=7

2

（cm）．
答：弦AD，CD的长依次为5

2

cm，7

2

cm．

点评：本题综合考查了圆周角定理，垂径定理，角平分线的性质，及相似三角形的性质．解答此题的关键是作出辅助线，构造正方形．