Question

9．如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，F在AD边上，M，N分别是CD，BC边上的动点，若AB=AF=2，AD=3，则四边形EFMN周长的最小值是（　　）

• A． 2+$\sqrt{13}$
• B． 2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{5}$
• C． 5+$\sqrt{5}$
• D． 8

Answer 1

分析 先延长EB至G，使BE=BG，延长FD到H，使DF=DH，连接GN，MH，根据M，N分别是CD，BC边上的动点，可得当点G、N、M、H在同一直线上时，GN+MN+MH=GH最短，即EN+MN+MF最短，再根据勾股定理求得GH和EF的长，即可得出四边形EFMN周长的最小值．

解答 解：如图所示，延长EB至G，使BE=BG，延长FD到H，使DF=DH，连接GN，MH，
∴BC垂直平分EG，CD垂直平分FH，
∴EN=GN，MF=MH，
∵E是AB边的中点，F在AD边上，AB=AF=2，AD=3，
∴EF长不变，AE=EB=BG=1，DF=DH=1，
即AG=3，AH=4，
∵M，N分别是CD，BC边上的动点，
∴当点G、N、M、H在同一直线上时，GN+MN+MH=GH最短，
即EN+MN+MF最短，
此时Rt△AGH中，GH=$\sqrt{A{G}^{2}+A{H}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴EN+MN+MF=5，
又∵Rt△AEF中，EF=$\sqrt{A{E}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴EN+MN+MF+EF=5+$\sqrt{5}$，
∴四边形EFMN周长的最小值是5+$\sqrt{5}$，
故选：C．

点评 本题考查了轴对称的性质以及勾股定理的运用，正确作出辅助线，确定EN+MN+MF的值最小时，M、N的位置是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．