Question

19．如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，P是⊙O上的一个点，D是BP延长线上的一个点，且∠DAP=∠ABP，若AD=4，PD=2，则线段PA的长是$\sqrt{13}$+1．

Answer 1

分析 过D作DH⊥AP于H，由垂直的定义得到∠DHP=∠AHD=90°，根据等边三角形的性质得到∠ACB=60°，由圆内接四边形的性质得到∠APD=60°，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：过D作DH⊥AP于H，
∴∠DHP=∠AHD=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠APD=60°，
∵PD=2，
∴PH=1，DH=$\sqrt{3}$，
∵AD=4，
∴AH=$\sqrt{A{D}^{2}-D{H}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴AP=PH+AH=$\sqrt{13}$+1，
故答案为：$\sqrt{13}$+1．

点评 本题考查了等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．