Question

15．如图1是边长为6的菱形ABCD，E是BC的中点，AE、BD相交于点P．
（1）如图2，当∠ABC=90°时，求BP的长．
（2）如图3，当∠ABC角度在改变时，BP的中垂线与边BC的交点F的位置是否发生变化？如果不变，请求出BF的长；如果改变，请说明理由．
（3）当∠ABC从90°逐步减少到30°的过程中，求P点经过路线长．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质得出AD=BC=CD=6，AD∥BC，由平行线得出△BEP∽△DAP，得出比例式$\frac{BP}{DP}=\frac{BE}{AD}$=$\frac{1}{2}$，证明菱形ABCD是正方形，由勾股定理得出BD=6$\sqrt{2}$，得出BP=$\frac{1}{3}$BD=2$\sqrt{2}$；
（2）由菱形的性质得出∠ABD=∠CBD，由垂直平分线的性质得出BF=PF，由等腰三角形的性质得出∠FBP=∠BPF，∠BPF=∠ABD，证出PF∥AB∥CD，得出比例式$\frac{BF}{BC}=\frac{BP}{BD}$=$\frac{1}{3}$，求出BF=$\frac{1}{3}$BC=2即可；
（3）P点经过路线是以F为圆心，BF为半径的圆弧，由弧长公式即可得出答案．

解答 解：（1）∵E是BC的中点，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴△BEP∽△DAP，
∴$\frac{BP}{DP}=\frac{BE}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形，
∴BD=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴BP=$\frac{1}{3}$BD=2$\sqrt{2}$；

（2）不发生变化；理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠CBD，
又∵BP的中垂线与边BC交于点F，
∴BF=PF，
∴∠FBP=∠BPF，∠BPF=∠ABD，
∴PF∥AB∥CD，
∴$\frac{BF}{BC}=\frac{BP}{BD}$=$\frac{1}{3}$，
∴BF=$\frac{1}{3}$BC=2，
即点F的位置不发生改变；

（3）P点经过路线是以F为圆心，BF为半径的圆弧，长度为$\frac{（90-30）π×2}{180}$=$\frac{2}{3}$π．

点评 本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及弧长公式等知识；熟练掌握菱形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．