Question

16．在扇形OACB中，∠AOB=120°，⊙O′为弓形ACB的最大的内切圆，若AB的长为2π，则⊙O′的周长为（　　）

• A． π
• B． $\frac{2}{3}$π
• C． $\frac{3}{2}$π
• D． 2π

Answer 1

分析 连接OO′交弧AB、AB分别于点C、D，根据切线的性质和垂径定理得AD的长，从而求得⊙O′的半径，利用周长公式求得圆的周长即可．

解答 解：如图，
连接OO′交AB分别于点D，交弧AB于点C，
∵AB的长为2π，
∴由弧长公式得OA=3，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOD=60°，
∵OC⊥AB，
∴∠ADO=90°，
∴∠OAD=30°，
∴OA=2OD，
∴OD=1.5，
∵OC=3，
∴CD=1.5，
∴CO′=$\frac{3}{4}$，
∴周长为2×$\frac{3}{4}$π=$\frac{3}{2}π$．
故选C．

点评 本题考查了切线的性质、垂径定理和弧长公式，是基础知识，要熟练掌握，解题的关键是能够正确的左侧辅助线．