Question

1．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点 F．
（1）求证：BD=BF；   
（2）若 EF=6，CF=3，求⊙O的半径长．

Answer 1

分析 （1）连接OE，由切线的性质可证明OE∥BC，再结合OD=OE，可证明∠BDF=∠F，可证得BD=BF；
（2）在Rt△CEF中可证得∠F=60°，结合（1）的结论可证明△BDF为等边三角形，连接BE，则E为DF的中点，可求得DF，则可求得BD，可求得⊙O的半径．

解答 （1）证明：
如图1，连接OE，

∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC，
∵∠ACB=90°，
∴OE∥BF，
∴∠OED=∠F，
∵OE=OD，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ODF=∠F，
∴BD=BF；
（2）解：
如图2，连接BE，
∵BD为⊙O的直径，
∴BE⊥DF，
∴DE=EF=6，

∵CF=3，EF=6，
∴cos∠F=$\frac{CF}{EF}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠F=60°，
又由（1）可知BD=BF，
∴△BDF为等边三角形，
∴BD=DF=12，
∴⊙O的半径为6．

点评 本题主要考查切线的性质及等边三角形的判定和性质，在（1）中证得∠ODE=∠F是解题的关键，在（2）中求得△BDF为等边三角形是解题的关键．