题目内容
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB上的高，AF为∠BAC的角平分线，AF交CD于点E，交BC于点F．
（1）如图1，①∠ACD ∠B（选填“＜，=，＞”中的一个）②如图1，求证：CE=CF；
（2）如图1，作EG∥AB交BC于点G，若AD=a，△EFG为等腰三角形，求AC（含a的代数式表示）；
（3）如图2，过BC上一点M，作MN⊥AB于点N，使得MN=ED，探索BM与CF的数量关系．
（1）如图1，①∠ACD
（2）如图1，作EG∥AB交BC于点G，若AD=a，△EFG为等腰三角形，求AC（含a的代数式表示）；
（3）如图2，过BC上一点M，作MN⊥AB于点N，使得MN=ED，探索BM与CF的数量关系．
考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质
专题：
分析：（1）①根据三角形内角和定理得出∠CAD+∠ACD=90°，∠B+∠CAD=90°，推出即可；②根据三角形外角性质求出∠CFE=∠CEF，根据等腰三角形判定推出即可；
（2）根据等腰三角形性质和平行线性质推出∠ACD=∠CAF=∠BAF，得出3∠ACD=90°，求出∠ACD=30°，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；
（3）过E作EH⊥AC于H，求出EH=DE=MN，证△CHE≌△BNM，推出BM=CE即可．
（2）根据等腰三角形性质和平行线性质推出∠ACD=∠CAF=∠BAF，得出3∠ACD=90°，求出∠ACD=30°，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；
（3）过E作EH⊥AC于H，求出EH=DE=MN，证△CHE≌△BNM，推出BM=CE即可．
解答：（1）解：①∠ACD=∠B，
理由是：∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠B+∠CAD=90°，
∴∠ACD=∠B，
故答案为：=．
②证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠BAF，
∵∠CFA=∠B+∠BAF，∠CEF=∠ACD+∠CAF，
∵∠B=∠ACD，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CE=CF．
（2）解：∵△EFG是等腰三角形，
∴∠FEG=∠FGE，
∵EG∥AB，
∴∠FEG=∠BAF，∠FGE=∠B，
∵∠B=∠ACD，
∴∠ACD=∠CAF=∠BAF，
∵∠CDA=90°，
∴3∠ACD=90°，
∴∠ACD=30°，
∴AC=2AD=2a．
（3）解：BM=CF，
理由是：过E作EH⊥AC于H，
∵AF平分∠CAB，CD⊥AB，
∴EH=ED=MN，
∵EH⊥AC，MN⊥AB，
∴∠CHE=∠BNM=90°，
在△CHE和△BNM中
∴△CHE≌△BNM（AAS），
∴BM=CE，
∵CE=CF，
∴BM=CF．
理由是：∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠B+∠CAD=90°，
∴∠ACD=∠B，
故答案为：=．
②证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠BAF，
∵∠CFA=∠B+∠BAF，∠CEF=∠ACD+∠CAF，
∵∠B=∠ACD，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CE=CF．
（2）解：∵△EFG是等腰三角形，
∴∠FEG=∠FGE，
∵EG∥AB，
∴∠FEG=∠BAF，∠FGE=∠B，
∵∠B=∠ACD，
∴∠ACD=∠CAF=∠BAF，
∵∠CDA=90°，
∴3∠ACD=90°，
∴∠ACD=30°，
∴AC=2AD=2a．
（3）解：BM=CF，
理由是：过E作EH⊥AC于H，
∵AF平分∠CAB，CD⊥AB，
∴EH=ED=MN，
∵EH⊥AC，MN⊥AB，
∴∠CHE=∠BNM=90°，
在△CHE和△BNM中
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∴△CHE≌△BNM（AAS），
∴BM=CE，
∵CE=CF，
∴BM=CF．
点评：本题考查了角平分线性质，含30度角的直角三角形性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行线性质的应用，主要考查学生的推理能力．
练习册系列答案
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