Question

14．已知菱形ABCD的对角线相交于O，点E、F分别在边AB、BC上，且BE=BF，射线EO、FO分别交边CD、AD于G、H．
（1）求证：四边形EFGH为矩形；
（2）若OA=4，OB=3，求EG的最小值．

Answer 1

分析 （1）先根据对角线互相平分证明四边形EFGH是平行四边形，再证明△EBO≌△FBO，得EG=FH，所以四边形EFGH是矩形；
（2）根据垂线段最短，可知：当OE⊥AB时，OE最小，先利用面积法求OE的长，EG=2OE，可得结论．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAO=∠DCO，∠AOE=∠GOC，
∴△AOE≌△COG（ASA），
∴OE=OG，
同理得：OH=OF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵BE=BF，∠ABD=∠CBD，OB=OB，
∴△EBO≌△FBO，
∴OE=OF，
∴EG=FH，
∴四边形EFGH是矩形；

（2）∵垂线段最短，
∴当OE⊥AB时，OE最小，
∵OA=4，OB=3，∠AOB=90°，
∴AB²=OA²+OB²=25，
∴AB=5，
∴$\frac{1}{2}$OA×OB=$\frac{1}{2}$AB×OE，
3×4=5×OE，
OE=$\frac{12}{5}$，
∵OE=OG，
∴EG=$\frac{24}{5}$．
答：EG的最小值是$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查了菱形的性质、矩形的性质和判定、三角形全等的性质和判定、勾股定理，熟练掌握矩形的判定是关键，同时还运用了面积法求线段OE的长．