Question

如图所示，矩形ABCD中，AD=8厘米，AB=6厘米，O为BD的中点，点P是线段AD上一动点，PO的延长线交BC于Q．若P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，
（2）求证：OP=OQ；
（2）求当四边形PBQD是菱形时的t值和PQ的长度．

Answer 1

考点：矩形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：动点型

分析：（1）根据线段中点的定义可得OB=OD，根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB=∠CBD，然后利用“角边角”证明△BOQ和△DOP全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据菱形的四条边都相等可得BP=DP，然后表示出AP、BP，在Rt△ABP中，利用勾股定理列出方程求出t，再利用勾股定理列式求出BD，并求出OB，然后利用勾股定理列式求出PO，再根据菱形的对角线互相平分可得PQ=2PO．

解答：（1）证明：∵O为BD的中点，
∴OB=OD，
∵矩形对边AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
在△BOQ和△DOP中，

∠ADB=∠CBD OB=OD ∠DOP=∠BOQ

，
∴△BOQ≌△DOP（ASA），
∴OP=OQ；

（2）解：∵四边形PBQD是菱形，
∴BP=DP，
∵P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动，
∴AP=t，BP=DP=8-t，
在Rt△ABP中，AB²+AP²=BP²，
即6²+t²=（8-t）²，
解得t=

7

4

，
∵AD=8厘米，AB=6厘，
∴BD=

62+82

=10cm，
∴OB=5cm，
∵四边形PBQD是菱形，
∴BD⊥PQ，
∴PO=

BP2-OB2

=

(8- 7 4 )2-52

=

15

4

，
∴PQ=2PO=

15

2

，
故当四边形PBQD是菱形时的t=

7

4

秒，PQ=

15

2

．

点评：本题考查了矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质是解题的关键．