Question

16．观察下列排列的单项式的规律：
$\frac{1}{2}{a}^{3}b$，-$\frac{1}{4}{a}^{2}{b}^{2}$，$\frac{1}{8}{a}^{2}{b}^{3}$，-$\frac{1}{16}{a}^{2}{b}^{4}$，…．
（1）请按照此规律写出第10个单项式；
（2）试猜想写出第n个单项式，并写出其系数和次数．

Answer 1

分析 （1）要看各单项式的系数和次数与该项的序号之间的变化规律．本题中，奇数项符号为负，偶数项符号为正，数字变化规律是（-1）ⁿ⁺¹$\frac{1}{{2}^{n}}$，字母变化规律是a²bⁿ；
（2）利用（1）中规律得出答案．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{2}{a}^{3}b$，-$\frac{1}{4}{a}^{2}{b}^{2}$，$\frac{1}{8}{a}^{2}{b}^{3}$，-$\frac{1}{16}{a}^{2}{b}^{4}$，…
∴第10个单项式为：-$\frac{1}{{2}^{10}}$a²b¹⁰；

（2）第n个单项式为：（-1）ⁿ⁺¹×$\frac{1}{{2}^{n}}$a²bⁿ（n≥2），系数为：（-1）ⁿ⁺¹×$\frac{1}{{2}^{n}}$，次数为：2+n．

点评 此题主要考查了单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式改写成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．