Question

4．一透明的敞口正方体容器ABCD-A′B′C′D′装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（∠CBE=α，如图所示）．

探究：如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②．
解决问题：
（1）CQ与BE的位置关系是CQ∥BE，BQ的长是3dm，α=37°（注：sin49°=cos41°=$\frac{3}{4}$，tan37°=$\frac{3}{4}$）
（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液=底面积SBCQ×高AB）
（3）在图1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出．图3或图4是其正面示意图，若液面与棱C′C或CB交于点P、点Q始终在棱BB′上，设PC=x，BQ=y，分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围．

Answer 1

分析 （1）根据水面与水平面平行可以得到CQ与BE平行，利用勾股定理即可求得BQ的长；
（2）液体正好是一个以△BCQ是底面的直棱柱，据此即可求得液体的体积；
（3）根据液体体积不变，当0°≤α≤37°时，列方程$\frac{1}{2}$（x+y）×4×4=24和当37°＜α≤53°时，列方程$\frac{1}{2}$×y×（4-x）×4=24，求解即可．

解答 解：（1）∵液体的形状为直三棱柱，
∴CQ∥BE，
根据勾股定理得．BQ=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3；
在Rt△BCQ中，tan∠BCQ=$\frac{3}{4}$，
∴α=∠BCQ=37°．
故答案为CQ∥BE，3，37°．
（2）V_液=$\frac{1}{2}$×3×4×4=24（dm³）；
（3）当容器向左旋转时，0°≤α≤37°，
∵液体体积不变，
∴$\frac{1}{2}$（x+y）×4×4=24，
∴y=-x+3．
当容器向右旋转时，37°＜α≤53°，
∵液体体积不变，
∴$\frac{1}{2}$×y×（4-x）×4=24，
∴y=$\frac{12}{4-x}$；
当液面恰好到达容器口沿，即点Q与点B′重合时，如图5，

∵BB′=4，且$\frac{1}{2}$PB•BB′×4=24，
∴PB=3，
∴tan∠PB′B=$\frac{3}{4}$，
∴∠PB′B=37°．
∴α=∠B′PB=53°．
此时37°≤α≤53°；

点评 本题是几何变换综合题，主要考查了四边形的体积计算以及三视图的认识，正确理解棱柱的体积的计算是关键．