Question

【题目】如图，在Rt△ABC中∠ABC=90°，AC的垂直平分线交BC于D点，交AC于E点，OC=OD．

（1）若，DC=4，求AB的长；

（2）连接BE，若BE是△DEC的外接圆的切线，求∠C的度数．

Answer 1

【答案】（1）；（2）30°

【解析】

（1）由于DE垂直平分AC，那么AE=EC，∠DEC=90°，而∠ABC=∠DEC=90°，∠C=∠C，易证，△ABC∽△DEC，∠A=∠CDE，于是sin∠CDE=sinA＝，AB：AC=DE：DC，而DC=4，易求EC，利用勾股定理可求DE，易知AC=6，利用相似三角形中的比例线段可求AB；
（2）连接OE，由于∠DEC=90°，那么∠EDC+∠C=90°，又BE是切线，那么∠BEO=90°，于是∠EOB+∠EBC=90°，而BE是直角三角形斜边上的中线，那么BE=CE，于是∠EBC=∠C，从而有∠EOB=∠EDC，又OE=OD，易证△DEO是等边三角形，那么∠EDC=60°，从而可求∠C．

解：（1）∵AC的垂直平分线交BC于D点，交AC于E点，

∴∠DEC=90°，AE=EC，

∵∠ABC=90°，∠C=∠C，

∴∠A=∠CDE，△ABC∽△DEC，

∴sin∠CDE=，AB：AC=DE：DC，

∵DC=4，

∴ED=3，

∴DE=，

∴AC=6，

∴AB：6=：4，

∴AB=；

（2）连接OE，

∵∠DEC=90°，

∴∠EDC+∠C=90°，

∵BE是⊙O的切线，

∴∠BEO=90°，

∴∠EOB+∠EBC=90°，

∵E是AC的中点，∠ABC=90°，

∴BE=EC，

∴∠EBC=∠C，

∴∠EOB=∠EDC，

又∵OE=OD，

∴△DOE是等边三角形，

∴∠EDC=60°，

∴∠C=30°．