Question

11．如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y₁=x²（x≥0）与y₂=$\frac{{x}^{2}}{n}$（x≥0）的图象于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y₁的图象于点D，直线DE∥AC，交y₂的图象于点E，当n=2时，$\frac{DE}{AB}$的值为2-$\sqrt{2}$；当n=k时，$\frac{DE}{AB}$的值为k-$\sqrt{k}$．

Answer 1

分析 设C（t，$\frac{{t}^{2}}{n}$），利用AC∥x轴得到B点的纵坐标为$\frac{{t}^{2}}{n}$，再根据抛物线上点的坐标特征得到B（$\frac{\sqrt{n}}{n}$t，$\frac{{t}^{2}}{n}$）；同样可确定D（t，t²），E（$\sqrt{n}$t，t²），则AB=$\frac{\sqrt{n}}{n}$，DE=（$\sqrt{n}$-1）t，于是可计算出$\frac{DE}{AB}$=n-$\sqrt{n}$，然后把n=2和k代入计算即可．

解答 解：设C（t，$\frac{{t}^{2}}{n}$），
∵AC∥x轴，
∴B点的纵坐标为$\frac{{t}^{2}}{n}$，
当y=$\frac{{t}^{2}}{n}$时，$\frac{{t}^{2}}{n}$=x²，解得x=$\frac{t}{\sqrt{n}}$=$\frac{\sqrt{n}}{n}$t，
∴B（$\frac{\sqrt{n}}{n}$t，$\frac{{t}^{2}}{n}$）；
∴AB=$\frac{\sqrt{n}}{n}$t，
∵CD∥y轴，
∴点D的横坐标为t，
∴D（t，t²），
∵DE∥x轴，
∴E点的纵坐标为t²，
当y=t²时，$\frac{{x}^{2}}{n}$=t²，解得x=$\sqrt{n}$t，
∴E（$\sqrt{n}$t，t²），
∴DE=（$\sqrt{n}$-1）t，
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{（\sqrt{n}-1）t}{\frac{\sqrt{n}t}{n}}$=n-$\sqrt{n}$，
当n=2时，$\frac{DE}{AB}$=2-$\sqrt{2}$；
当n=k时，$\frac{DE}{AB}$=k-$\sqrt{k}$．
故答案为2-$\sqrt{2}$；k-$\sqrt{k}$．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．