Question

11．如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，AB=6，BD=2DC，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF．
（1）求△EDC的面积．
（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由．
（3）求四边形ABEF的面积．

Answer 1

分析 （1）首先利用等边三角形的性质易得AB=BC=CA=6，∠ACB=60°，△EDC为等边三角形，过E作EG⊥DC于点G，易得∠GEC=30°，得GC=$\frac{1}{2}EC$=1，利用勾股定理可得EG，利用三角形的面积公式得结果；
（2）由∠AEF=∠CED=60°，EF=EA，易得△AEF为等边三角形，利用内错角相等，两直线平行易得AF∥BD，由AF=AE=AC-CE=BC-CD=BD，利用平行四边形的判定定理得出结论；
（3）过点A作AH⊥BC于H，易得∠BAH=30°，利用含30°直角三角形的性质，易得BH=$\frac{1}{2}AB=3$，利用勾股定理可得AH，代入S_{四边形ABEF}=S_{四边形ABDF}-S_△BDE
=BD•AH-$\frac{1}{2}•BD•EG$，得出结论．

解答 解：（1）在等边△ABC中，
AB=BC=CA=6，∠ACB=60°，
∵BD=2DC，CD=CE，
∴BD=4，CD=CE=2，
∴EDC为等边三角形，
过E作EG⊥DC于点G，
在Rt△EGC中，
∠ECG=60°，
∴∠GEC=30°，
∴$GC=\frac{1}{2}EC=1$，
∴$EG=\sqrt{E{C}^{2}-G{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$
∴S_△EDC=$\frac{1}{2}•DC•EG$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$；

（2）四边形ABDF是平行四边形．
理由如下：
∵∠AEF=∠CED=60°，EF=EA，
∴△AEF为等边三角形，
∴∠AFE=∠FDC=60°，
∴AF∥BD，
∵AF=AE=AC-CE=BC-CD=BD，
∴AF∥BD且AF=BD，
∴四边形ABDF为平行四边形；

（3）过点A作AH⊥BC于H，
在Rt△ABH中，
∠BAH=90°-∠ABH=30°，
∴BH=$\frac{1}{2}$AB=3，AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴S_{四边形ABEF}=S_{四边形ABDF}-S_△BDE
=BD•AH-$\frac{1}{2}•BD•EG$
=$4×3\sqrt{3}-\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}$，
=10$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质及判定，平行四边形的判定，含30°直角三角形的性质，综合运用各种判定定理，作出适当的辅助线是解答此题的关键．