Question

3．已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D为AB边上的中点，∠EDF=90°，且绕点D旋转，它的两边分别交AC、BC（或它们的延长线）于E、F，假设△DEF的面积x、△ECF的面积为y．
（1）当∠EDF绕点D旋转到（如图1）时，求y与x之间的函数关系？（不要求自变量的取值范围）
（2）当∠EDF绕点D旋转到（如图2）时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）连接CD，如图所示：由AC=BC，∠ACB=90°，D为AB中点，得到∠B=45°，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，CD⊥AB，CD=$\frac{1}{2}$AB=BD，于是得到∠DCE=∠B，∠CDB=90°，由于∠EDF=90°，得到∠1=∠2，证明△CDE≌△BDF，即可得出结论；
（2）不成立，同（1）得：△DEC≌△DBF，得出S_△DEF=S_{五边形DBFEC}=S_△CFE+S_△DBC=S_△CFE+$\frac{1}{2}$S_△ABC．

解答 解：（1）连接CD；如图2所示：
∵AC=BC，∠ACB=90°，D为AB中点，
∴∠B=45°，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，CD⊥AB，CD=$\frac{1}{2}$AB=BD，
∴∠DCE=∠B，∠CDB=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠1=∠2，
在△CDE和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{CD=BD}\\{∠DCE=∠B}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴S_△DEF+S_△CEF=S_△ADE+S_△BDF=$\frac{1}{2}$S_△ABC；
∴x+y=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×6×6=9，
∴y=-x+9

（2）不成立；S_△DEF-S_△ECF=${\frac{1}{2}S}_{△ABC}$；
理由如下：连接CD，如图3所示：
同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE=∠DBF=135°
∴S_△DEF=S_{五边形DBFEC}，
=S_△CFE+S_△DBC，
=S_△CFE+$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴S_△DEF-S_△CFE=$\frac{1}{2}$S_△ABC．
∴S_△DEF、S_△CEF、S_△ABC的关系是：S_△DEF-S_△CEF=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴y=x-9，
∴当∠EDF绕点D旋转到（如图2）时，（1）中的结论不成立．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形面积的求法；证明三角形全等是解决问题的关键．