Question

某山区的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售，当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P=（万元）。当地政府拟规划加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投人100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出60万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售。在外地销售的投资收益为：每投入万元，可获利润Q=（万元）。

（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？

（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？

（3）根据（1）、（2），该方案是否具有实施价值？

Answer 1

1）∵每投入万元，可获得利润P=（万元），

∴当=60时，所获利润最大，最大值为41万元。

∴若不进行开发，5年所获利润的最大值是：41×5=205（万元）。

（2）前两年：0≤≤40，此时因为P随的增大而增大，

所以=40时，P值最大，

即这两年的获利最大为：2×[ ]=66（万元）。

后三年：设每年获利，设当地投资额为，则外地投资额为100－，

∴=P+Q=[]+[]

=﹣²+60+129=﹣（﹣30）²+1029。

∴当=30时，y最大且为1029。

∴这三年的获利最大为1029×3=3087（万元）。

∴5年所获利润（扣除修路后）的最大值是：66+3087﹣50×2=3153（万元）。

（3）规划后5年总利润为3153万元，不实施规划方案仅为205万元，故具有很大的实施价值。

【考点】二次函数的应用（利润问题）。