Question

19．如图，已知在矩形ABCD中，AB=2a，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE、BE，△ABE是等边三角形．
（1）求点E到CD的距离．
（2）求$\frac{{S}_{△DCE}}{{S}_{△ABE}}$的值．

Answer 1

分析 （1）过E作EM⊥AB于M，交DC于N，根据矩形的性质得出DC=AB，DC∥AB，∠ABC=90°，因为AB=AE=BE=2a，所以BC的长可求出，即MN的长，进求出EN的长，即点E到CD的距离；
（2）根据三角形面积公式求出两个三角形的面积，即可得出答案．

解答 解：（1）如图所示：
过E作EM⊥AB于M，交DC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB，DC∥AB，∠ABC=90°，
∴MN=BC，EN⊥DC，
∵△AEB是等边三角形，
∴∠EAC=∠BAC=30°，
∵AB=AE=BE=2a，
∴BC=$\frac{2a}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
即MN=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∵△ABE是等边三角形，EM⊥AB，
∴AM=a，由勾股定理得：EM=$\sqrt{A{E}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
∴EN=EM-MN=$\sqrt{3}$a-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
即点E到CD的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$a；
（2）∵△DCE的面积是$\frac{1}{2}$×DC×EN=$\frac{1}{2}$×2a×（$\sqrt{3}$a-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a²，
△ABE的面积是$\frac{1}{2}$AB×EM=$\frac{1}{2}$×2a×$\sqrt{3}$a=$\sqrt{3}$a²，
∴$\frac{{S}_{△DCE}}{{S}_{△ABE}}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}{a}^{2}}{{\sqrt{3}a}^{2}}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，等边三角形的性质的应用，解此题的关键是求出两个三角形的面积，题目比较典型，难度适中．