Question

1．如图，△ABC中，∠ACB＞∠ABC，点O是△ABC的内角平分线的交点，AO的延长线交BC于点D，OE⊥BC于点E
（1）若∠BAC=90°
①求∠BOC的度数
②如果∠DOE=15°，求∠EOC的度数
（2）设∠OBC=α，∠OCB=β，求∠DOE（用α、β表示）

Answer 1

分析 （1）①由三角形的内角和得到∠ABC+∠ACB=90°，根据角平分线的性质得到∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCD=$\frac{1}{2}$∠ACB，于是得到∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=45°，即可得到结论；
②由O是△ABC的三内角平分线的交点，得到∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BAO=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，根据三角形的内角和得到∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB，推出∠BOD=∠BAO+∠ABO=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABC）=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，根据三角形的内角和和角平分线的性质得到∠EOC=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，即可得到结果；
（2）根据已知条件得到DOE=$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠ABC），再根据角平分线的定义代入即可求解．

解答 解：（1）①∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵BO平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCD=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=45°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=135°；
②∵O是△ABC的三内角平分线的交点，
∴∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BAO=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB，
∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABC）=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠OEC=90°，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠EOC=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BOD=∠EOC=$\frac{1}{2}$（135°-15°）=60°；
（2）∠DOE=$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠ABC）=β-α．

点评 本题考查了三角形的内角和，角平分线的性质，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．